x1+x2+...+xn=0x1^2+x2^2+...xn^2=ny^2使这个方程组有整数解的全部n是?

Question

x1+x2+...+xn=0 x1^2+x2^2+...xn^2=ny^2 使这个方程组有整数解的全部n是?

Answer 1

平凡的,0＝x1=x2=.=xn=y=0,总是解.则n是任意自然数均可.
非平凡情况：显然所有偶数n有解,x1=-x2=x3=-x4=x5=-x6.=y
如果a^2+b^2+c^2=3d^2、a+b+c=0有整数解,则与上一行结合,n>=3解
即：2a^2+2b^2+2ab=3d^2
a^2+b^2+ab=3d^2/2=6k^2
显然a b都是偶数,(a/2)^2+(b/2)^2+(a/2)(b/2)=6r^2
这样无限循环除2,显然无解.
所以非平凡的,n＝偶数有解
n是奇数,3看来是不行了,5以上大概用与3一样的方法,同样要无限除2,最后也是无解.今天有事,先提交了.