如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=255，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．（1

Question

如图，已知二次函数y=ax ² +bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC= (25)/(5) ，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线y=2x-4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M，若∠MPO=75°，求出点P的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=ax ² +bx+8（a≠0）的图象与y轴交与点C，
∴点C（0，8），即OC=8；
Rt△OBC中，BC=OC÷sin∠ABC=8÷ (25)/(5) =4

5

，
OB=

B C 2 -O B 2

=4，
则点B（4，0）．
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

4a-2b+8=0

16a+4b+8=0

．
解得

a=-1

b=2

，
故抛物线的解析式：y=-x ² +2x+8=-（x-1） ² +9，顶点D（1，9）；

（2）在直线CD上存在点Q，能够使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
设直线CD的解析式为y=kx+m，
将C（0，8），D（1，9）代入，
得

m=8

k+m=9

，解得

k=1

m=8

，
则直线CD的解析式为y=x+8．
设Q点的坐标为（x，x+8）．
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当BQ=BC=4

5

时，有（x-4） ² +（x+8） ² =80，
整理，得2x ² +8x=0，
解得x ₁ =-4，x ₂ =0（不合题意，舍去）．
当x=-4时，x+8=4，即此时Q点的坐标为（-4，4）；
②当CQ=BC=4

5

时，有x ² +（x+8-8） ² =80，
整理，得2x ² =80，
解得x ₁ =2

10

，x ₂ =-2

10

．
当x=2

10

时，x+8=2

10

+8，即此时Q点的坐标为（2

10

，2

10

+8）；
当x=-2

10

时，x+8=-2

10

+8，即此时Q点的坐标为（-2

10

，-2

10

+8）；
③当QB=QC时，有（x-4） ² +（x+8） ² =x ² +（x+8-8） ² ，
整理，得8x+80=0，
解得x=-10．
当x=-10时，x+8=-2，即此时Q点的坐标为（-10，-2）．
综上可知，在直线CD上存在点Q，能够使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，此时点Q的坐标为（-4，4）或（2

10

，2

10

+8）或（-2

10

，-2

10

+8）或（-10，-2）；

（3）设直线CD：y=x+8与x轴交于点E，则点E（-8，0），OC=OE=8，∠CEO=45°．
设直线y=2x-4与直线CD交于点F，分两种情况讨论：
①当点P在点F的下方时，如右图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
在四边形EMPQ中，∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°，
当∠MPO=75°时，∠OPQ=135°-75°=60°，∠POQ=30°，则直线OP的解析式为y= (3)/(3) x．
解方程组

y=(3)/(3) x

y=2x-4

，得

x=(24+43)/(11)

y=(4+83)/(11)

，
即此时P点的坐标为（ (24+43)/(11) ， (4+83)/(11) ）；
②当点P在点F的上方时，如右图2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设直线CD与直线OP交于点G．
在△MPG中，∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°，
∴∠EGO=∠MGP=15°，
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°，
∴直线OP的解析式为y=

3

x．
解方程组

y=

3

x

y=2x-4

，得

x=8+4

3

y=8

3

+12

，
即此时P点的坐标为（8+4

3

，8

3

+12）．
综上可知，点P的坐标为（ (24+43)/(11) ， (4+83)/(11) ）或（8+4

3

，8

3

+12）．