已知三角形ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若（2c-b）tanB=btanA,a=6已知三角形ABC的内角ABC的对边分别为abc,若（2c-b）tanB=btanA,a=6,c=4,求b的值

Question

已知三角形ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若（2c-b）tanB=btanA,a=6
已知三角形ABC的内角ABC的对边分别为abc,若（2c-b）tanB=btanA,a=6,c=4,求b的值

Answer 1

答：
三角形ABC中,(2c-b)tanB=btanA
(2c-b)sinB/cosB=bsinA/cosA
(2c-b)sinBcosA=bcosBsinA
正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以：(2sinC-sinB)sinBcosA=sinBcosBsinA>0
所以：
(2sinC-sinB)cosA=cosBsinA
所以：
2sinCcosA=sinBcosA+cosBsinA=sin(A+B)=sinC>0
所以：
cosA=1/2,A=60°
a=6,c=4
代入余弦定理有：a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2+16-4b=36
b^2-4b-20=0
(b-2)^2=24
b-2=2√6（负值不符合舍去）
b=2+2√6