设抛物线y2=2px（p＞0）上有两动点A、B，F为焦点，且|AF|+|BF|＝8，且线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0）．（1）求抛物线方程；（2）求△AQB面积最大值．

Question

设抛物线y²=2px（p＞0）上有两动点A、B，F为焦点，且|

AF

|+|

BF

|＝8，且线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0）．
（1）求抛物线方程；
（2）求△AQB面积最大值．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），
①当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则
由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴x₀=4−(p)/(2)
又∵y₁²=2px₁且y₂²=2px₂，∴y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂）
可得k=(y1−y2)/(x1−x2)=(2p)/(y1+y2)=(p)/(y0)，解出y₀=(p)/(k)，得M（4−(p)/(2)，(p)/(k)），
∵线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），
∴((p)/(k))/(4−(p)/(2)−6)•k＝−1，解之得p=4，可得抛物线方程为y²=8x，
②当直线的斜率不存在时，可得|

AF

|+|

BF

|=2p=8，
也满足抛物线方程为y²=8x．
综上所述，可得抛物线方程为y²=8x；
（2）当直线的斜率存在时，由x₀=4−(p)/(2)=2，得M（2，y₀）
∵AB斜率k=(p)/(y0)，∴直线AB方程为y-y₀=(p)/(y0)（x-2）
令y=0，解出直线与x轴的交点为D（2-(1)/(4)y02，0），
∵由y²=8x和y-y₀=(p)/(y0)（x-2）消去x，得：y²-2y₀y+2y₀²-16=0，
∴|y₁-y₂|=

作业帮用户 2017-10-20