（2014•绍兴一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知S2，S3+1，S4成等差数列．（Ⅰ）求d的值；（Ⅱ）若a1，a2，a5成等比数列，求an−2Sn（n∈N*）的最大值．

Question

（2014•绍兴一模）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d．已知S₂，S₃+1，S₄成等差数列．
（Ⅰ）求d的值；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₅成等比数列，求(an−2)/(Sn)（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由S₂，S₃+1，S₄成等差数列，
得S₂+S₄=2（S₃+1），即（2a₁+d）+（4a₁+6d）=2（3a₁+3d）+2，
解得d=2．
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₅成等比数列，得a22＝a1a5，即(a1+d)2＝a1(a1+4d)，
解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，Sn＝(n(a1+an))/(2)=n²．
∴(an−2)/(Sn)＝(2n−3)/(n2)=−3((1)/(n)−(1)/(3))2+(1)/(3)．
∴当n=3时，(an−2)/(Sn)的最大值为(1)/(3)．