已知关于x的一元二次方程（k2-8k+15）x2-2（13-3k）x+8=0的两个根都是整数，求实数k的值．

Question

已知关于x的一元二次方程（k²-8k+15）x²-2（13-3k）x+8=0的两个根都是整数，求实数k的值．

Answer 1

∵（k²-8k+15）x²-2（13-3k）x+8=0，
∴（k-3）（k-5）x²-（26-6k）x+8=0，（k≠3，k≠5）
∴[（k-3）x+4][（k-5）x+2]=0，
解得：x₁=-(4)/(k-3)，x₂=-(2)/(k-5)，
∵两个根都是整数，
∴设x₁=-(4)/(k-3)=m，x₂=-(2)/(k-5)=n，（m，n为不为0的整数），
∴k=-（(4)/(m)+3），k=-（(2)/(n)+5），
∴(4)/(m)+3=(2)/(n)+5，
则m=(2n)/(n+1)=2-(2)/(n+1)，
∵m是整数，则(2)/(n+1)是整数，n能取-3，-2，1，
当n=-3，m=3，k=(13)/(3)，
当n=-2，m=4，k=4，
当n=1，m=1，k=7．