（2005•浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）当k=12时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（Ⅱ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰

Question

（2005•浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）当k=(1)/(2)时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
（Ⅱ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

方法一：
（Ⅰ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC，∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
又OD∥PA，∴PA与平面PBC所成的角的大小等于∠ODF，在Rt△ODG中，sin∠ODF=(OF)/(OD)=(√(210))/(30)，
∴PA与平面PBC所成角为arcsin(√(210))/(30)．

（Ⅱ）由（I）知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影．
∵D是PC的中点，
若点F是△PBC的重心，则B，F，D三点共线，
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB=BC，即k=1．
反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．
方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图）．
设AB=a，则A（(√(2))/(2)a，0，0），B（0，(√(2))/(2)a，0），C（-(√(2))/(2)a，0，0），
设OP=h，则P（0，0，h）
（Ⅰ）∵k=(1)/(2)，即PA=2a，∴h=

作业帮用户 2016-11-21

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