(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与

Question

(10分)如图，已知抛物线与 轴交于A(1，0)，B（ ，0）两点，与 轴交于点
C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与 轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S _{△ MAP} =2S _{△ ACP} ，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（10分）解（1）设此抛物线的解析式为：

∵抛物线与 轴交于A（1，0）、B（ 两点，
∴
又∵抛物线与 轴交于点C（0，3）
∴ ，
∴
∴
即 ……………3分
用其他解法参照给分
（2）∵点A（1，0），点C（0，3）
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，OC⊥ 轴
∴△QOC∽△COA
∴ ，即
∴OQ=9，……………………4分
又∵点Q在 轴的负半轴上，∴Q（
设直线DC的解析式为： ，则
   解之得：
∴直线DC的解析式为： ……………………5分
∵点D是抛物线与直线DC的交点，
∴    解之得：     （不合题意，应舍去）
∴点D（ ……………………6分
用其他解法参照给分
（3）如图，点M为直线 上一点，连结AM，PC，PA
设点M（ ，直线 与 轴交于点E，∴AE=2
∵抛物线 的顶点为P，对称轴为
∴P（
∴PE=4
则PM=
∵S _{四边形 AEPC} =S _{四边形 OEPC} +S _{△ AOC}
=
=
= ……………………7分
又∵S _{四边形 AEPC} = S _{△ AEP} +S _{△ ACP}
S _{△ AEP} =
∴+S _{△ ACP} = ……………………8分
∵S _{△ MAP} =2S _{△ ACP}
∴
∴
∴ ， ……………………9分
故抛物线的对称轴上存在点M使S _{△ MAP} =2S _{△ ACP}
点M（

作业帮用户 2017-11-01

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