已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF=3FM，（Ⅰ）若|PF|=3，求点M的坐标；（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．

Question

已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x²=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，

PF

=3

FM

，
（Ⅰ）若|PF|=3，求点M的坐标；
（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=-1，
设P（x₀，y₀），由抛物线的定义可知|PF|=y₀+1，解得y₀=2，
∴x₀=±2√(2)，即P（2√(2)，2）或P（-2√(2)，2），
由

PF

=3

FM

，得M（-(2√(2))/(3)，(2)/(3)）或M（(2√(2))/(3)，(2)/(3)）．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y＝kx+m

x2＝4y

得x²-4kx-4m=0，
于是△=16k²+16m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
即AB的中点M的坐标为（2k，2k²+m）
由

PF

=3

FM

，得（-x₀，1-y₀）=3（2k，2k²+m-1），
解得

x0＝−6k

y0＝4−6k2−3m

，由

x

2 0

＝4y0，得k²=-(1)/(5)m+(4)/(15)，
由△＞0，k＞0得−(1)/(3)＜m≤(4)/(3)，
又∵|AB|=4√(1+k2)•√(k2+m)，
点F到直线AB的距离d=(|m−1|)/(√(1+k2))，
∴S_△ABP=4S_△ABF=8|m-1|•√(k2+m)＝(16)/(√(15))√(3m3−5m2+m+1)，
设f（m）=3m³-5m²+m+1，（−(1)/(3)＜m≤(4)/(3)），
则f'（m）=9m²-10m+1=0，解得m₁=(1)/(9)，m₂=1，
于是f（m）在（−(1)/(3)，(1)/(9)）是增函数，在（(1)/(9)，1）上是减函数，在（1，(4)/(3)）上是增函数，
又f（(1)/(9)）=(256)/(243)＞f((4)/(3))，
∴当m=(1)/(9)时，f（m）取得最大值(256)/(243)，此时k=±(√(55))/(15)，
∴△ABP面积的最大值为(256√(5))/(135)．