如图,抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,哦),B(3,0),C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)B(3,0)C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.1.求该抛物线的解析式2.

Question

如图,抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,哦),B(3,0),C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交
如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)B(3,0)C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.
1.求该抛物线的解析式
2.抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标；若不存在,说明理由.
3.在第一象限,对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等,若存在,直接写出点R的坐标.
请写出解答思路.（网上的答案我看不懂,因此就不必复制那答案了）

Answer 1

1.
将A,B,C三点,分别代入抛物线方程,得：
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=c
所以得出：a=-1,b=2,c=3
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3
2.存在,Q有3个坐标
设Q到直线MB的距离为m,P到直线MB的距离为n
∵S△QMB=(1/2)×|MB|×m,S△PMB=(1/2)×|MB|×n
∴欲使S△QMB=S△PMB,只要求使得m=n的Q点即可
直线BC的方程为：x/3+y/3=1,即y=-x+3
∵P点为对称轴与抛物线的交点,∴P坐标为(1,4)
M点为对称轴与BC的交点,∴M坐标为(1,3)
∵直线PC的斜率k1=(4-3)/(1-0)=1,直线MB的斜率为-1,则PC⊥MB,则|PC|=n
作P关于C的对称点P',则P'的坐标为(2×0-1,2×3-4),即(-1,2),且P'C⊥MB,且|P'C|=|PC|=n
作直线L：平行于BC且通过P,即斜率为-1,且通过P的直线：y=-x+5
作直线L'：平行于BC且通过P',即斜率为-1,且通过P'的直线：y=-x+1
∵L//BC,∴L上任意一点到直线MB的距离相等,且等于|PC|,即n
又∵L'//BC,∴L'上任意一点到直线MB的距离相等,且等于|P'C|,即n
∴L和L'上任意一点与M、B所形成三角形面积均与△PMB面积相等
联立L与抛物线方程,得(1,4),(2,3)
联立L'与抛物线方程,得((3+√17)/2,(-1-√17)/2),((3-√17)/2,(-1+√17)/2)
所以Q点有3个坐标,分别为(2,3),((3+√17)/2,(-1-√17)/2),((3-√17)/2,(-1+√17)/2)
3.存在
R坐标为(1+√2,2)