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如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,P为CD的中点.(1)求证:CD⊥平面MAP;(2)求证:MP∥平面OBC;(3)求三棱锥M-PAD的体积.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/908fa0ec08fa513d6641b76f3e6d55fbb3fbd99c.jpg)
(1)求证:CD⊥平面MAP;
(2)求证:MP∥平面OBC;
(3)求三棱锥M-PAD的体积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵OA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴OA⊥CD
∵四边形ABCD这菱形且∠ABC=60°,∴△ACD为正三角形,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4e4a20a4462309f7db8476a3710e0cf3d6cad69c.jpg)
∵P为CD的中点,∴AP⊥CD
又OA∩AP=A,∴CD⊥平面MAP;…(5分)
(2)证明:设N为线段OB的中点,连接MN、CN,则
∵M为OA的中点,∴MN∥AB,且MN=
AB,∴MN∥CP且MN=CP,
∴四边形MNCP为平行四边形,∴MP∥CN
∵MP⊄平面OBC,CN⊂平面OBC
∴MP∥平面OBC;…(10分)
(3)∵OA=CD=2,∴AP=
,PD=1,MA=1,
∴VM−PAD=
•
•1•
•1=
…(14分)
∵四边形ABCD这菱形且∠ABC=60°,∴△ACD为正三角形,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4e4a20a4462309f7db8476a3710e0cf3d6cad69c.jpg)
∵P为CD的中点,∴AP⊥CD
又OA∩AP=A,∴CD⊥平面MAP;…(5分)
(2)证明:设N为线段OB的中点,连接MN、CN,则
∵M为OA的中点,∴MN∥AB,且MN=
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∴四边形MNCP为平行四边形,∴MP∥CN
∵MP⊄平面OBC,CN⊂平面OBC
∴MP∥平面OBC;…(10分)
(3)∵OA=CD=2,∴AP=
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∴VM−PAD=
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