如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，P为CD的中点．（1）求证：CD⊥平面MAP；（2）求证：MP∥平面OBC；（3）求三棱锥M-PAD的体积．

Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，P为CD的中点．
（1）求证：CD⊥平面MAP；
（2）求证：MP∥平面OBC；
（3）求三棱锥M-PAD的体积．

Answer 1

（1）证明：∵OA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴OA⊥CD
∵四边形ABCD这菱形且∠ABC=60°，∴△ACD为正三角形，
∵P为CD的中点，∴AP⊥CD
又OA∩AP=A，∴CD⊥平面MAP；…（5分）
（2）证明：设N为线段OB的中点，连接MN、CN，则
∵M为OA的中点，∴MN∥AB，且MN＝(1)/(2)AB，∴MN∥CP且MN=CP，
∴四边形MNCP为平行四边形，∴MP∥CN
∵MP⊄平面OBC，CN⊂平面OBC
∴MP∥平面OBC；…（10分）
（3）∵OA=CD=2，∴AP＝√(3)，PD＝1，MA＝1，
∴VM−PAD＝(1)/(3)•(1)/(2)•1•√(3)•1＝(√(3))/(6)…（14分）