如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=3,点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动（点D不与B重合）,过点D作DE∥BC交AC于点E．以DE为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AD并在⊙O内作内接矩形ADFE，设

Question

如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=3,点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动（点D不与B重合）,过点D作DE∥BC交AC于点E．以DE为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AD
并在⊙O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示△DEF的面积S；
（2）当t为何值时，⊙O与直线BC相切？

Answer 1

（1）∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°
在△ADE中,∵∠A=90°
∴tan∠ADE=AE/AD
∵AD=1×t=t,∴AE=根号3t
又∵四边形ADFE是矩形,
∴S△DEF=S△ADE=1/2AD×AE=1/2t×根号3t
∴S=(根号3t^2)/2 （0≤t＜3）
（2）过点O作OG⊥BC于G,过点D作DH⊥BC于H,
∵DE∥BC,∴OG=DH,∠DHB=90°
在△DBH中,sinB=DH/BD
∵∠B=60°,BD=AB-AD,AD=t,AB=3,
∴DH=(根号3)(3-t)/2,∴OG=(根号3)(3-t)/2
当OG=1/2DE时,⊙O与BC相切,
在△ADE中,∵∠A=90°,∠ADE=60°
∴cos∠ADE=AD/DE=1/2
∵AD=t,∴DE=2AD=2t,
∴2t=(根号3)(3-t)
∴t=6根号3-9
∴当t=6根号3-9时,⊙O与直线BC相切