已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

Question

已知关于x的方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

Answer 1

（1）证明：△=[-（3k+1）]²-4×1×（2k²+2k），
=k²-2k+1，
=（k-1）²，
∵无论k取什么实数值，（k-1）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）x²-（3k+1）x+2k²+2k=0，
因式分解得：（x-2k）（x-k-1）=0，
解得：x₁=2k，x₂=k+1，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，
当a、b为腰，则a=b=6，而a+b＞c，a-b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4=16；
当b、c为腰，则k+1=2k，解得k=1，
∴b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，∴所以这种情况不成立；
当a、c为腰 k+1=6 则k=5，
∴b=10，
∴三角形的周长为：6+6+10=22．
综上，三角形的周长为16或22．