在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；（2）定义：若以不在同一直线

Question

在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；

（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；
（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．

Answer 1

（1）如图①，连接EG，
由题意得：△AOE≌△AFE，
∴∠EFG=∠OBC=90°，
又∵E是OB的中点，
∴EG=EG，EF=EB=4．
在Rt△EFG和Rt△EBG中

EG＝EG

EF＝EB

∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，
∴△AOE∽△AEG，
∴AE²=AO⋅AG，
即36+16=6×AG，AG=(26)/(3)，
可得：CG=(10)/(3)，BG=(8)/(3)．
∴G的坐标为（8，(8)/(3)）；

（2）设运动的时间为t秒，
当点C为圆心时，则CQ=CP，
即：2t=10-4t，
得到t=(5)/(3)，
此时CP=2×(5)/(3)＝(10)/(3)，AP=8−(10)/(3)＝(14)/(3)，
P点坐标为((14)/(3)，6)．         
当点P为圆心时，则PC=PQ，
如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t，
∵EQ∥AO，
∴△CEQ∽△CAO，
∴EQ=(3)/(5)CQ=(3)/(5)(10−4t)＝6−(12)/(5)t，
PE=(4)/(5)(10−4t)−2t＝8−(26)/(5)t，
则(6−(12)/(5)t)2+(8−(26)/(5)t)2＝(2t)2，
化简得：36t²-140t+125=0，
解得：t1＝(25)/(18)，t2＝(5)/(2)（舍去），
此时，AP=8−(25)/(18)×2＝(47)/(9)，P点坐标为((47)/(9)，6)，
当点Q为圆心时，则QC=PQ，
如备用图，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，
∵EQ∥AO，
∴△CFQ∽△CAO，
∴QF=(3)/(5)(10−4t)＝6−(12)/(5)t，
PF=2t−(4)/(5)(10−4t)＝(26)/(5)t−8．
则 (6−(12)/(5)t)2+((26)/(5)t−8)2＝(10−4t)2，
整理得(21)/(5)t2−8t＝0，
解得：t1＝(40)/(21)，t2＝0（舍去）．
此时，AP=8−(40)/(21)×2＝(88)/(21)，P点坐标为((88)/(21)，6)，
综上所述，P点坐标为((14)/(3)，6)，((47)/(9)，6)，((88)/(21)，6)．