已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2

Question

已知抛物线y=ax ² +bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x ² -10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2。

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）解方程x 2 -10x+16=0得x 1 =2，x 2 =8　                ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，                      且OB＜OC                ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）                又∵抛物线y=ax 2 +bx+c的对称轴是直线x=-2               ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0）；     （2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax 2 +bx+c的图象上 ∴c=8，                将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式，                 得  解得               ∴所求抛物线的表达式为y=- x 2 - x+8　    （3）依题意，AE=m，则BE=8-m， ∵OA=6，OC=8，            ∴AC=10 ∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC                     ∴   即              ∴           过点F作FG⊥AB，垂足为G，则                    ∴S=S △BCE -S △BFE =                                         =                                         =                                         = m 2 +4m             自变量m的取值范围是0＜m＜8　 （4）存在；      理由：∵                 ∴当m=4时，S有最大值，S 最大值 =8　                 ∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0）                  ∴△BCE为等腰三角形。