已知：如图，两个半径长为r的等圆O1和O2外切于点P，A是O1上的一点，BP⊥AP，BP交O2于点B．求证：AB=2r．

Question

已知：如图，两个半径长为r的等圆 O₁和 O₂外切于点P，A是 O₁上的一点，BP⊥AP，BP交 O₂于点B．求证：AB=2r．

Answer 1

证明：连接O₁O₂，AO₁，BO₂
∵ O₁和 O₂外切于点P，
∴接O₁O₂经过点P，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠APO₁+∠BPO₂=90°，
∵O₁A=O₁P，O₂P=O₂B，
∴∠O₁AP=∠O₁PA，∠O₂PB=∠O₂BP，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AP+∠PAB+∠PBA+∠O₂BP=180°，
∴AO₁∥BO₂，
∵AO₁=BO₂，
∴四边形ABO₂O₁是平行四边形，
∴AB=O₁O₂=2r．