如图所示，放在倾角α=30°的光滑斜面上的凹槽，长L=3.000m，质量M=0.16kg，凹槽两端用挡板封住．斜面底端固定一块与斜面垂直的挡板．凹槽的下端离挡板的距离L0=1.000m，开始时凹槽是固定的

Question

如图所示，放在倾角α=30°的光滑斜面上的凹槽，长L=3.000m，质量M=0.16kg，凹槽两端用挡板封住．斜面底端固定一块与斜面垂直的挡板．凹槽的下端离挡板的距离L₀=1.000m，开始时凹槽是固定的，槽内放置一块质量m=0.16kg的小铁块（视为质点）．当小铁块从凹槽上端静止释放，并以a=(1)/(4)g加速度沿凹槽向下运动，经△t=0.100s后再释放凹槽．设凹槽和小铁块与挡板发生弹性碰撞后均以原速返回，空气阻力不计，试求：（结果取三位有效数字）

（1）凹槽与挡板第一次碰撞前，铁块对凹槽做的功；
（2）从凹槽释放到第二次与挡板碰撞瞬间，凹槽运动的路程；
（3）从释放铁块到凹槽与铁块都静止时，铁块相对于凹槽运动的路程．

Answer 1

（1）经△t=0.100s，小铁块的速度为：
v₁=a△t=0.25m/s
对小滑块，根据牛顿第二定律，有：
mgsinα-f=ma
解得：
f=(1)/(4)mg                   
对凹槽，根据牛顿第二定律，有：
f+Mgsinα=Ma₁
解得：
a₁=(3)/(4)g=7.5m/s²
设凹槽开始运动到和铁块速度相同的时间是t₁，则：
(3)/(4)g•t₁=0.25+(1)/(4)g t₁
解得：
t₁=0.05 s
凹槽的位移为：
x_凹槽=(1)/(2)a₁t₁²=(1)/(2)×7.5×（0.05）²=(3)/(320)=0.009375=9.375×10^-2 （m）
铁块对凹槽做的功：
W_f=f×x_凹槽=(1)/(4)mg×x_凹槽=0.00375 （J）=3.75×10^-3 （J）
（2）铁块与凹槽的共同速度：
v_共=(3)/(4)gt₁=7.5×0.05=0.375（m/s）
铁块的位移为：
x_铁块=(1)/(2)a（△t+t₁）²=(1)/(2)×2.5×（0.15）²=0.0281（m）     
相对位移为：
△x=x_铁块-x_凹槽=0.01875（m）
凹槽和铁块达到v_共后以a₂=(1)/(2)g滑下，设与挡板碰撞时速度为v₂，则：
v₂²-v_共²=2a₂（L₀-x_凹槽）     
得：v₂²=(643)/(64)      
故v₂≈3.17 （m/s）
凹槽反弹后，铁块以(1)/(4)g加速度加速下滑，凹槽反弹以(3)/(4)g加速度减速上升到速度为0，
位移：x=(v22)/(2a1)=0.670 （m）
故从凹槽释放到第二次与挡板碰撞瞬间，凹槽运动的路程：
x_总=L₀+2x=2.34 （m）
（3）从释放铁块到凹槽与铁块都静止时，根据功能关系，有：
mgL₀sin30°+mg4L₀ sin30°=fs_总
解得：
s_总=10L₀=10.0m
答：（1）凹槽与挡板第一次碰撞前，铁块对凹槽做的功为3.75×10^-3 J；
（2）从凹槽释放到第二次与挡板碰撞瞬间，凹槽运动的路程为2.34m；
（3）从释放铁块到凹槽与铁块都静止时，铁块相对于凹槽运动的路程为10.0m．