S(x)=x^4/(2*4)+x^6/(2*4*6)+x^8/(2*4*6*8)+...(1)求满足S(x)的一阶微分方程(2)解(1)中的微分方程求S(x)

Question

S(x)=x^4/(2*4)+x^6/(2*4*6)+x^8/(2*4*6*8)+...(1)求满足S(x)的一阶微分方程(2)解(1)中的微分方程求S(x)

Answer 1

（1）对S(x)求导一次（之所以求一次,是根据式子的特征来的）,得到
S`(x)=x(x^2/2+x^4/(2*4)+x^6/(2*4*6)+x^8/(2*4*6*8)+...)
=x(x^2/2+S(x))
其中,由原式易求的,
S(0)=0
所以转化成S(x)的一阶微分方程的初值问题
有S`(x)=x(x²/2+S(x)),其中S(0)=0
（2）显然,令S(x)=y,有
y`-xy=x^3/2
根据y`+P(x)y=Q(x)型的微分方程求解公式,即
y=exp(-∫P(x)dx)(C+∫exp(∫P(x)dx)Q(x)dx)
代入式子,得
y=exp(-∫-xdx)(C+∫exp(∫-xdx)x^3/2dx)
=exp(x²/2)(C+∫exp(-x²/2)x^3/2dx)
对∫exp(-x²/2)x^3/2dx进行分部积分求解,有
∫exp(-x²/2)x^3/2dx=∫-x²/2dexp(-x²/2)
=-x²/2exp(-x²/2)+∫exp(-x²/2)d(x²/2)
=-x²/2exp(-x²/2)-∫exp(-x²/2)d(-x²/2)
=-x²/2exp(-x²/2)-exp(-x²/2)
=-exp(-x²/2)(x²/2+1)
所以,y=exp(x²/2)[C-exp(-x²/2)(x²/2+1)]
又y(0)=0,代入可得C-1=0即C=1
所以,y=exp(x²/2)[1-exp(-x²/2)(x²/2+1)]
=exp(x²/2)-x²/2-1
综上所述,所求S(x)=exp(x²/2)-x²/2-1
呼呼~求完之后才发现,原来就是一个迈克劳林展开式变形而已...
不错,很不错的题目