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如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．
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如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．
▼优质解答
答案和解析
证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．
又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，
∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．
又∵AM=CM，
∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①
∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②
∵△BPM与△BCM都是直角三角形，
∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，
MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③
把②③代入①，得
AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．
∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．
又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，
∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．
又∵AM=CM，
∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①
∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②
∵△BPM与△BCM都是直角三角形，
∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，
MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③
把②③代入①，得
AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．
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