设L为单位圆x2+y2=1的正向，计算积分Leyx2+y2[（xsinx+ycosx）dx+（ysinx-xcosx）dy]．

Question

设L为单位圆x²+y²=1的正向，计算积分

L

(ey)/(x2+y2)[（xsinx+ycosx）dx+（ysinx-xcosx）dy]．

Answer 1

设原式为∫LPdx+Qdy，直接计算可得(∂Q)/(∂x)=(∂P)/(∂y)，（x，y）≠（0.0），
我们利用“挖奇点”的方法．
做一个充分小的圆周C：x²+y²=ε²，方向逆时针．L与C所包围的区域记为D_ε，由格林公式得
∫_LPdx+Qdy=∫_CPdx+Qdy=0，
再应用一次格林公式及积分中值定理，得
∫CPdx+Qdy=(1)/(ε2)∫Cey[(xsinx+ycosx)dx+(ysinx-xcosx)dy]
=(-2)/(ɛ2)

∫∫

Dc

eycosxdxdy=(-2)/(ε2)•eyεcosxε•πε2=-2πeyεcosxε，
令ε→0⁺，得

lim

ε→0+

(-2πeyεcosxε)=-2πe0cos0=-2π，
所以∫L(ey)/(x2+y2)[(xsinx+ycosx)dx+(ysinx-xcosx)dy]=-2π