已知函数，a∈R．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；(Ⅱ)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值．

Question

已知函数，a∈R．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直与直线，所以曲线的且现在该店的斜率与直线的斜率成绩为零，即曲线在改点的导数与直线在改点的导数乘积为0．
\n(Ⅱ)求出函数f(x)的导数，再讨论a的范围，根据导数求出函数的最值

(Ⅰ)直线y=x+2的斜率为1．
\n函数y=f(x)的导数为，
\n则f′(1)=-+，所以a=1．(5分)
\n(Ⅱ)f′(x)=(ax-2)/x²，x∈(0，+∞)．
\n①当a=0时，在区间(0，e]上，此时f(x)在区间(0，e]上单调递减，
\n则f(x)在区间(0，e]上的最小值为F(e)=．
\n②当0，即a<0时，在区间(0，e]上f′(x)<0，此时f(x)在区间(0，e]上单调递减，
\n则f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)=+a．
\n③当0e，即a>时，
\n在区间上f′(x)<0，此时f(x)在区间上单调递减；
\n在区间上f′(x)>0，此时f(x)在区间上单调递增；
\n则f(x)在区间(0，e]上的最小值为f()=a+aln2．
\n④当，即时，
\n在区间(0，e]上f′(x)≤0，此时f(x)在区间(0，e]上为单调递减，
\n则f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)=+a．
\n综上所述，当时，f(x)在区间(0，e]上的最小值为+a；
\n当a>时，f(x)在区间(0，e]上的最小值为a+aln．

【点评】该题考查求函数的导数，以及直线垂直的位置关系，要注意讨论a的取值范围，属于中等题.