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(2006•漳州)如图,已知矩形ABCD,AB=,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H.(1)求△PEF的边长;(2)在不添加辅助线的
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(2006•漳州)如图,已知矩形ABCD,AB=
,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H.
(1)求△PEF的边长;
(2)在不添加辅助线的情况下,当F与C不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由;
(3)若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系并证明你猜想的结论.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d788d43f8794a4c2ffb6989b0bf41bd5ac6e39ec.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9345d688d43f8794256a379ed71b0ef41ad53aec.jpg)
(1)求△PEF的边长;
(2)在不添加辅助线的情况下,当F与C不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由;
(3)若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系并证明你猜想的结论.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d788d43f8794a4c2ffb6989b0bf41bd5ac6e39ec.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知,等边△EFP的高与矩形的AB边相等从而根据三角函数即可求得其边长;
(2)根据已知及相似三角形的判定方法即可证得相似三角形;
(3)根据已知利用余切及三角形内外角的性质不难求得PH与BE的关系.
【解析】
(1)过P作PQ⊥BC于Q,
∵矩形ABCD,
∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC.
∴PQ=AB=
.
∵△PEF是等边三角形,
∴∠PFQ=60°.
在Rt△PQF中sin60°=
,
∴PF=2.
∴△PEF的边长为2.
(2)方法一:△ABC∽△CDA.
理由:∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠2,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b151f8198618367a6470006d2b738bd4b21ce581.jpg)
∴∠B=∠D=90°,
∴△ABC∽△CDA.
方法二:△APH∽△CFH.
理由:∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠1,
又∵∠3=∠4,
∴△APH∽△CFH.
(3)猜想:PH与BE的数量关系是:PH-BE=1,
证法一:在Rt△ABC中,AB=
,BC=3,
∴tan∠1=
.
∴∠1=30°.
∵△PEF是等边三角形,
∴∠2=60°,PF=EF=2.
∵∠2=∠1+∠3,
∴∠3=30°.
∴∠1=∠3.
∴FC=FH.
∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3,FC=FH,EF=2,
∴BE+FC=3-2=1,
∴PH-BE=1.
证法二:在Rt△ABC中,AB=
,BC=3,
∴tan∠1=
.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/267f9e2f07082838d5f4a3a4bd99a9014d08f181.jpg)
∴∠1=30°.
∵△PEF是等边三角形,PE=2,
∴∠2=∠4=∠5=60°.
∴∠6=90°.
在Rt△CEG中,∠1=30°,
∴EG=
EC,即EG=
(3-BE).
在Rt△PGH中,∠7=30°,
∴PG=
PH.
∴PE=EG+PG=
(3-BE)+
PH=2.
∴PH-BE=1.
证法三:在Rt△ABC中,AB=
,BC=3,
∴tan∠1=
,AC2=AB2+BC2∴∠1=30°,AC=2
.
∵△PEF是等边三角形,
∴∠4=∠5=60°.(3分)
∴∠6=∠8=90°.
∴△EGC∽△PGH,
∴
.
∴
①
∵∠1=∠1,∠B=∠6=90°,
∴△CEG∽△CAB.
∴
即
.
∴EG=
(3-BE)②
把②代入①得,
.
∴PH-BE=1.
(2)根据已知及相似三角形的判定方法即可证得相似三角形;
(3)根据已知利用余切及三角形内外角的性质不难求得PH与BE的关系.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/80cb39dbb6fd52665dbe43a4ae18972bd50736ec.jpg)
(1)过P作PQ⊥BC于Q,
∵矩形ABCD,
∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC.
∴PQ=AB=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738d1eb37392b61bb051f919ec81.jpg)
∵△PEF是等边三角形,
∴∠PFQ=60°.
在Rt△PQF中sin60°=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da97739120adffad1fd198618377ae281.jpg)
∴PF=2.
∴△PEF的边长为2.
(2)方法一:△ABC∽△CDA.
理由:∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠2,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b151f8198618367a6470006d2b738bd4b21ce581.jpg)
∴∠B=∠D=90°,
∴△ABC∽△CDA.
方法二:△APH∽△CFH.
理由:∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠1,
又∵∠3=∠4,
∴△APH∽△CFH.
(3)猜想:PH与BE的数量关系是:PH-BE=1,
证法一:在Rt△ABC中,AB=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/43a7d933c895d14331e39b9376f082025baf07ec.jpg)
∴tan∠1=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c44c5eb0b82d6277f9f2ff881.jpg)
∴∠1=30°.
∵△PEF是等边三角形,
∴∠2=60°,PF=EF=2.
∵∠2=∠1+∠3,
∴∠3=30°.
∴∠1=∠3.
∴FC=FH.
∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3,FC=FH,EF=2,
∴BE+FC=3-2=1,
∴PH-BE=1.
证法二:在Rt△ABC中,AB=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d01373f082025aaf05a7017bfeedab64024f1aec.jpg)
∴tan∠1=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8601a18b87d6277f59eb4d882d381f30e824fc81.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/267f9e2f07082838d5f4a3a4bd99a9014d08f181.jpg)
∴∠1=30°.
∵△PEF是等边三角形,PE=2,
∴∠2=∠4=∠5=60°.
∴∠6=90°.
在Rt△CEG中,∠1=30°,
∴EG=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4afbfbedab64034fde58bdb6aac379310b551dec.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/78310a55b319ebc41aed09298726cffc1f1716ec.jpg)
在Rt△PGH中,∠7=30°,
∴PG=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f3d3572c11dfa9ec50d729a767d0f703908fc181.jpg)
∴PE=EG+PG=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a1ec08fa513d2697ba2a77ed50fbb2fb4216d881.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8773912b31bb05143b1cc98337adab44bede0ed.jpg)
∴PH-BE=1.
证法三:在Rt△ABC中,AB=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f7905276e6388e09f3d7ca7acbd581.jpg)
∴tan∠1=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/08f790529822720efc379d4a7ecb0a46f31fab81.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b7b02087bf40ad1b771b853522c11dfa8ecceed.jpg)
∵△PEF是等边三角形,
∴∠4=∠5=60°.(3分)
∴∠6=∠8=90°.
∴△EGC∽△PGH,
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7acb0a46f21fbe099da7bca46e600c338644ad81.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/562c11dfa9ec8a13b88f2850f203918fa1ecc0ed.jpg)
∵∠1=∠1,∠B=∠6=90°,
∴△CEG∽△CAB.
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a1ec08fa513d2697ba4677ed50fbb2fb4216d8ed.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/279759ee3d6d55fb5453099668224f4a21a4dded.jpg)
∴EG=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/08f790529822720efc5b9d4a7ecb0a46f31fabed.jpg)
把②代入①得,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d3d539b6003af33742a3d0302ac65c1138b681.jpg)
∴PH-BE=1.
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