设函数f（x）=（ex-1）（e2x-2）…（enx-n），其中n为正整数，则f′（0）=（）A．（-1）n-1（n-1）!B．（-1）n（n-1）!C．（-1）n-1n!D．（-1）nn!

Question

设函数f（x）=（e^x-1）（e^2x-2）…（e^nx-n），其中n为正整数，则f′（0）=（　　）

A．（-1）^n-1（n-1）!
B．（-1）ⁿ（n-1）!
C．（-1）^n-1n!
D．（-1）ⁿn!

Answer 1

从定义出发有
f′(0)＝

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x)

∵f（0）=0
∴f′(0)＝

lim

x→0

((ex−1)×(e2x−2)×…×(enx−n))/(x)
=

lim

x→0

(e2x−2)(e3x−3)…(enx−n)＝−1×(−2)×…×(1−n)＝(−1)n−1(n−1)!
故选：A．