已知函数f（x）=ax2-（a+1）x+1-b（a，b∈R）．（Ⅰ）若a=1，关于x的不等式f(x)x≥6在区间[1，3]上恒成立，求b的取值范围；（Ⅱ）若b=0，解关于x的不等式f（x）<0．

Question

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，关于x的不等式(f(x))/(x)≥6在区间[1，3]上恒成立，求b的取值范围；
（Ⅱ）若b=0，解关于x的不等式f（x）<0．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=ax²-（a+1）x+1-b，a=1，关于x的不等式(f(x))/(x)≥6，
化为：(x2-2x+1-b)/(x)≥6，在区间[1，3]上恒成立，即x²-8x+1≥b，在区间[1，3]上恒成立，
y=x²-8x+1的对称轴为：x=4，开口向上，函数在[1，3]是减函数，最小值为：f（3）=-14．
所以b的取值范围为（-∞，-14]．（4分）
（Ⅱ） 当b=0时，不等式f（x）<0化为（ax-1）（x-1）<0，（5分）
①当a=0时，不等式解集为（1，+∞）；（6分）
②当a<0时，不等式解集为(-∞，(1)/(a))∪(1，+∞)；（8分）
③当a>0时，不等式f（x）<0化为(x-(1)/(a))(x-1)<0，（10分）
若a=1，不等式解集为∅；若a>1，不等式解集为((1)/(a)，1)；若0<a<1，不等式解集为(1，(1)/(a))．
综上所述：
①当a<0时，不等式解集为(-∞，(1)/(a))∪(1，+∞)；
②当a=0时，不等式解集为（1，+∞）；
③当0<a<1时，不等式解集为(1，(1)/(a))；
④当a=1时，不等式解集为∅；
⑤当a>1时，不等式解集为((1)/(a)，1)．（12分）