如何证明AX=0,BX=0同解问题第一：A(m*n),B(t*n)的行向量等价时,证明AX=0.BX=0同解第二：AB都是n阶矩阵R(A)+R(B)

Question

如何证明AX=0,BX=0同解问题
第一：A(m*n),B(t*n)的行向量等价时,证明AX=0.BX=0同解
第二：AB都是n阶矩阵R(A)+R(B)

Answer 1

1.由A,B 的行向量组等价
(1) A的行向量可由B的行向量线性表示,则存在m*n矩阵C满足 A = CB
若X1是BX=0的解,则 BX1 = 0
则有 AX1 = CBX1 = C0 = 0
即 BX=0 的解都是 AX=0 的解
(2) B的行向量可由A的行向量线性表示,则存在t*n矩阵D满足 B = DA
同理可证 AX=0 的解都是 BX=0 的解.
所以 AX=0 与 BX=0 同解 #
2.证明:作矩阵 H = (A; B) [ A,B 上下放置]
则 r(H) ≤ r(A)+r(B) < n.
所以齐次线性方程组 HX = 0 有非零解α.
即有 α≠0 满足 Aα=0=0α,Bα=0=0α.
所以0是 A,B 的共同特征值,α是A,B的属于特征值0的共同特征向量.#
PS.以后提问最好一题一问哈