如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．（1）求证：AF⊥BG，DF=CG；（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．

Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，
AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF=CG；
（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．

Answer 1

（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=(1)/(2)∠BAD．
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=(1)/(2)∠ABC．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
即2∠BAF+2∠ABG=180°，
∴∠BAF+∠ABG=90°．
∴∠AEB=180°-（∠BAF+∠ABG）=180°-90°=90°．
∴AF⊥BG；
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∴∠AFD=∠DAF，
∴DF=AD，
∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB，
∴∠CBG=∠CGB，
∴CG=BC，
∵AD=BC．
∴DF=CG；

（2）∵DF=AD=6，
∴CG=DF=6．
∴CG+DF=12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴CD=AB=10．
∴10+FG=12，
∴FG=2，
过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．
∴∠GBH=∠AEB=90°．
∵AF∥BH，AB∥FH，
∴四边形ABHF为平行四边形．
∴BH=AF=8，FH=AB=10．
∴GH=FG+FH=2+10=12，
∴在Rt△BHG中：BG=√(GH2−BH2)=4√(5)．
∴FG的长度为2，BG的长度为4√(5)．