正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

Question

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y ² =2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

Answer 1

|AB|=2y ₁ =4 p.

如图,设正△OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x ₁ ,y ₁ )和(x ₂ ,y ₂ ),则y ₁ ² =2px ₁ ,y ₂ ² =2px ₂ ,又|OA|=|OB|,

∴x ₁ ² +y ₁ ² =x ₂ ² +y ₂ ² ,即x ₁ ² -x ₂ ² +2px ₁ -2px ₂ =0.
∴(x ₁ -x ₂ )(x ₁ +x ₂ +2p)=0.∵x ₁ >1,x ₂ >0,2p>0,∴x ₁ =x ₂ .由此可得|y ₁ |=|y ₂ |,即线段AB关于x轴对称.
由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,∴ =tan30°= .
而y ₁ ² =2px ₁ ,∴y ₁ =2 p.于是|AB|=2y ₁ =4 p.