如图，已知：AB为O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N，求证：∠MCN=∠MDN．

Question

如图，已知：AB为 O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N，求证：∠MCN=∠MDN．

Answer 1

证明：连接BC、BD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCM=90°，
∵MN是 O的切线，
∴∠ABM=90°，
∴∠BCM=∠ABM，
∵∠BMC=∠BMC，
∴△BMC∽△AMB，
∴(BM)/(AM)=(MC)/(BM)，
∴BM²=AM•MC，
在Rt△ABM中，BM²=AM²-AB²，
∴AM²-AB²=MC•AM，
∴AM（AM-MC）=AB²，
∴AB²=AM•AC，
同理得：AB²=AN•AD，
∴AM•AC=AN•AD，
∴(AM)/(AN)=(AD)/(AC)，
∵∠MAD=∠NAC，
∴△MAD∽△NAC，
∴∠ADM=∠ACN，
∴∠MCN=∠MDN．