已知函数(a>0，且a≠1，k∈R)．(1)若f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(2)=-2log(a)2，求a的值．(2)当0<a<1时，若f(x)在[1，+∞)内恒有意义，求k的取值范围．

Question

已知函数(a>0，且a≠1，k∈R)．
(1)若f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(2)=-2log_(a)2，求a的值．
(2)当0<a<1时，若f(x)在[1，+∞)内恒有意义，求k的取值范围．____

Answer 1

【分析】(1)由y=log_a(a-ka^x)，知a^y=a-ka^x，x=，所以f(x)的反函数为：．由f(x)的图象关于直线y=x对称，知恒成立由此能求出a．
\n(2)由a-ka^x>0得k＜a^1-x，设g(x)=a^1-x，由于0＜a＜1，知函数g(x)=a^1-x在[1，+∞)上是单调递增函数．所以g(x)_min=a⁰=1，由此能求出k的范围．

(1)∵y=log_a(a-ka^x)，
\n∴a^y=a-ka^x，
\n∴x=l，
\n∴f(x)的反函数为：.
\n∵f(x)的图象关于直线y=x对称，所以原函数与反函数是同一函数．
\n∴恒成立，
\n即：恒成立，(k²-1)a^x+(1-k)a=0恒成立
\n∴，得：k=1，
\n∴f(x)=log_a(a-a^x).
\n又∵f(2)=-2log_a2，
\n∴，
\n∴，
\n∴，
\n∴a=；
\n(2)由a-ka^x>0得k<a^1-x，设g(x)=a^1-x，
\n由于0<a<1，
\n∴函数g(x)=a^1-x在[1，+∞)上是单调递增函数．
\n∴g(x)_min=a⁰=1，
\n由k<a^1-x在[1，+∞)上恒成立得k<1．

【点评】本题考查对数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．