设数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，且a1，a2-1，a3-1是等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

设数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，且a₁，a₂-1，a₃-1是等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知：a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，
∵a₁，a₂-1，a₃-1成等比数列，
∴(a2−1)2＝a1(a3−1)，
∵a₁=1，∴d²=2d．
若d=0，则a₂-1=0，与a₁，a₂-1，a₃-1成等比数列矛盾．
∴d≠0，∴d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
（Ⅱ）∵(b2)/(b1)＝(a2−1)/(a1)＝2，b₁=a₁=1，
∴等比数列{b_n}的首项为1，公比为2．
∴Tn＝(1×(1−2n))/(1−2)＝2n−1