已知在△ABC中，D是AB上一点，P是AC上一点．（1）当D是AB的中点，若APPC=2，证明：BP=4PQ；（2）当D是AB的中点，若APPC=m，猜想BP与PQ之间的数量关系；（3）如果D是AB上任一点，P是AC上任一点，

Question

已知在△ABC中，D是AB上一点，P是AC上一点．

（1）当D是AB的中点，若(AP)/(PC)=2，证明：BP=4PQ；
（2）当D是AB的中点，若(AP)/(PC)=m，猜想BP与PQ之间的数量关系；
（3）如果D是AB上任一点，P是AC上任一点，若(AD)/(DB)=n，(AP)/(PC)=m，猜想BP与PQ之间的数量关系．

Answer 1

（1）如图1，过D作DE∥BP交AP于点E，
∵D是AB的中点，
∴E为AP中点，
∵(AP)/(PC)=2，
∴AE=PE=PC，
∴PQ是△CDE的中位线，DE是△ABP的中位线，
∴BP=2DE=4PQ；
（2）关系式为：BP=（m+2）PQ，
证明如下：如图2，过D作DE∥BP交AP于点E，
∵D是AB中点，
∴E是AP中点，
∴BP=2DE，AP=2PE，
∵(AP)/(PC)=m，
∴AP=mPC，
∴PE=(m)/(2)PC，
∴CE=(m+2)/(2)PC，
∵(PQ)/(DE)=(PC)/(CE)，
∴DE=(m+2)/(2)PQ，
∴BP=2DE=（m+2）PQ；
（3）证明如下：
如图3，过D作DE∥BP，交AC于点E，
∵(AD)/(DB)=n，
∴(AD)/(AB)=(n)/(n+1)=(DE)/(BP)，
∴BP=(n+1)/(n)DE，
∵(AE)/(PE)=(AD)/(BD)=n，
∴AE=nPE，
∴AP=（n+1）PE，
∵(AP)/(PC)=m，
∴AP=mPC，
∴PE=(m)/(n+1)PC，
∴CE=PE+PC=(m+n+1)/(n+1)PC，
∴(PQ)/(DE)=(PC)/(CE)=(n+1)/(m+n+1)，
∴DE=(m+n+1)/(n+1)PQ，
∴BP=(m+n+1)/(n)PQ．