已知A，B为三阶方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵A-2E可逆；（2）若B＝1−20120002，求矩阵A．

Question

已知A，B为三阶方阵，且满足2A^-1B=B-4E，其中E是3阶单位矩阵．
（1）证明：矩阵A-2E可逆；
（2）若B＝

1	−2	0
1	2	0
0	0	2

，求矩阵A．

Answer 1

（1）证明：
∵2A^-1B=B-4E，
∴两边同乘以A，得：2B=AB-4A，即：AB-2B-4A=0，
从而：（A-2E）（B-4E）=8E，
即：(A−2E)•(1)/(8)(B−4E)＝E，
∴A-2E可逆，且：(A−2E)−1＝(1)/(8)(B−4E)，证毕．

（2）
由（1）知：（A-2E）（B-4E）=8E，
从而：A=2E+8（B-4E）^-1，
又：(B−4E)−1＝

−3	−2	0
1	−2	0
0	0	−2

−1=

−(1)/(4)	(1)/(4)	0
−(1)/(8)	−(3)/(8)	0
0	0	−(1)/(2)

，
∴A=2E+8（B-4E）^-1=

0	2	0
−1	−1	0
0	0	−2

．