已知函数f（x）=，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象上的两点且x1＜1，x2＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证

Question

已知函数f（x）=，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的两点且x₁＜1，x₂＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x₂＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x₀∈I，g（x）的图象在（x₀，g（x₀））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．

Answer 1

（Ⅰ）当x≤1时，由f′（x）=-2x+1=0得x=），（1，+∞）；
单调减区间为（，1）．
f（x）的极大值为f（）=，极小值为f（1）=0．
（Ⅱ）∵x₁＜1∴f′（x₁）=-2x₁+1
∴直线PQ的方程为y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁）
即y-（-x₁²+x₁）=（-2x₁+1）（x-x₁），y=（-2x₁+1）x+x₁²①
∵x₂＞1∴f′（x₂）=
∴直线PQ的方程为y-f（x₂）=f′（x₂）（x-x₂）
即y-lnx₂=（x-x₂），y=x+lnx₂-1②
∵①②表示同一条直线方程，∴
消去x₁，得[（1-）]²=lnx₂-1，即--4lnx₂+5=0
令φ（x）=--4lnx+5（x＞1），则x₂是φ（x）图象与x轴交点的横坐标．
∵当x＞1时，φ′（x）=-
∴φ（x）在（1，+∞）上是减函数
又φ（3）=
φ（4）=
∴3＜x₂＜4
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x₀∈I，g（x）的图象在（x₀，g（x₀））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l下方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“上线区间”，
所以（-∞，）不是函数f（x）的“上线区间”．