已知集合A={（x，y）|x2+y2-4x-14y+45＜0}，B={（x，y）|y＞|x-m|+7}．（1）若A∩B≠∅，求m的取值范围；（2）若点Q的坐标为（m，7），且Q∈A，集合A，B所表示的两个平面区域的边界交于点M，N，求△

Question

已知集合A={（x，y）|x²+y²-4x-14y+45＜0}，B={（x，y）|y＞|x-m|+7}．
（1）若A∩B≠∅，求m的取值范围；
（2）若点Q的坐标为（m，7），且Q∈A，集合A，B所表示的两个平面区域的边界交于点M，N，求△QMN的面积的最大值．

Answer 1

（1）因为A={（x，y）|x²+y²-4x-14y+45＜0}，表示以C（2，7）为圆心的圆，
B={（x，y）|y＞|x-m|+7}，表示两射线组成的区域，如图（上）
  由射线y=x-m+7（m＜2）与圆C相切，d＝(|2−7−m+7|)/(√(2))＝2√(2)，得m=-2
同理，射线y=-x+m+7（m＞2）与圆相切，得m=6
要使A∩B≠∅，只要m≤-2，或m≥6即可．
故m的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）
（2）设|QN|=n，|QM|=m．∵QM⊥QN，∴△QMN的面积S=(1)/(2)mn，如图（下），
设|QC|=a，则Q到QN，QM的距离均为(√(2))/(2)a，
∴|QM|=√(R2−(a2)/(2))+(√(2))/(2)a，|QM|=√(R2−(a2)/(2))−

作业帮用户 2017-09-20

问题解析

对于（1），集合A表示不含边界的圆面，集合B表示一个角内部，只要两个图形没有交点即可
对于（2），将三角形△QMN的面积用函数表示出来求面积的最大值即可．

名师点评

本题考点：

集合关系中的参数取值问题．

考点点评：

本题借助集合考查了直线与圆的位置关系，体现了数形结合 的数学思想．属于中档题．

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