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如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,M是AD中点,N是PC中点.(1)求证:MN∥面PAB;(2)若平面PMC⊥平面PAD,求证CM⊥AD.
题目详情
如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,M是AD中点,N是PC中点.
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(1)求证:MN∥面PAB;
(2)若平面PMC⊥平面PAD,求证CM⊥AD.
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(1)求证:MN∥面PAB;
(2)若平面PMC⊥平面PAD,求证CM⊥AD.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)取BC中点E,连结ME、NE,
∵四棱锥的底面ABCD是平行四边形,M是AD中点,N是PC中点,
∴ME∥AB,NE∥PB,
∵AB∩PB=B,ME∩NE=E,
∴平面PAB∥平面MNE,
∵MN⊂平面MNE,
∴MN∥平面PAB.
(2)∵平面PMC⊥平面PAD,
∵PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD,
∴平面ABCD⊥平面PAD,
又∵平面PMC∩平面ABCD=CM,
∴CM⊥平面PAD,
∵AD⊂平面PAD,
∴CM⊥AD.
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∵四棱锥的底面ABCD是平行四边形,M是AD中点,N是PC中点,
∴ME∥AB,NE∥PB,
∵AB∩PB=B,ME∩NE=E,
∴平面PAB∥平面MNE,
∵MN⊂平面MNE,
∴MN∥平面PAB.
(2)∵平面PMC⊥平面PAD,
∵PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD,
∴平面ABCD⊥平面PAD,
又∵平面PMC∩平面ABCD=CM,
∴CM⊥平面PAD,
∵AD⊂平面PAD,
∴CM⊥AD.
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