求z=x^2+3y^2和z=8-x^2-y^2围成的体积要用三重积分做,就告诉我dzdxdy分别的上限和下线就好了

Question

求z=x^2+3y^2和z=8-x^2-y^2围成的体积
要用三重积分做,就告诉我dzdxdy分别的上限和下线就好了

Answer 1

求z=x²+3y²和z=8-x²-y²围成的体积
z=x²+3y²是一个开口朝上,与xoy平面相切于原点的椭圆抛物面；
z=8-x²-y²是一个顶点在(0,0,8),与xoy平面的交线为半径等于2√2的圆.
令x²+3y²=8-x²-y²,得2x²+4y²=8,即x²/4+y²/2=1；所以两曲面的交线是一个a=2,b=√2,焦点在
平行于x轴的直线上的椭圆.故两曲面所围空间的体积V:
V=[Ω]∫∫∫dxdydz={[-2,2]∫dx}{[-(1/√2)√(4-x²),(1/√2)√(4-x²)]∫dy}{[x²+3y²,8-x²-y²]∫dz}
[每个积分符号前面的中括号里的数字或代数式子就是对应其后的积分的上下限,前面的是下限,后面的是上限.为了醒目,我把三个积分用大括号隔离开了.如果你还原成手写形式就清楚啦!]