在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，且OB=2．（1）若点A在y轴正半轴上，∠OAB=30°且△ABO和△ABO′关于直线AB对称，求此时点O′的横坐标．（2）已知，点M（m，0）、N（0

Question

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，且OB=2．
（1）若点A在y轴正半轴上，∠OAB=30°且△ABO和△ABO′关于直线AB对称，求此时点O′的横坐标．
（2）已知，点M（m，0）、N（0，n）（2<n<4），将点B向上平移2个单位长度后得到点B′，若∠MB′N=90°，且mn=(15)/(7)，求m²+n²的值．

Answer 1

（1）如图1：

过点O′作O′C⊥x轴，垂足为点C，
∵△ABO和△ABO′关于直线AB对称，
∴△ABO≌△ABO′，
∴∠ABO=∠ABO′，OB=O′B=2，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠ABO′=60°，
∵∠OBO′+∠O′BC=180°，
∴∠O′BC=60°，
∵O′C⊥x轴，
∴∠O′CB=90°，
∴∠BO′C=30°，
∴BC=(1)/(2)O′B=1，
∴OC=OB+BC=3，
即点O′的横坐标为：3；
2）如图2：

过点B′作B′D⊥y轴，垂足为点D，
∵点B在x轴正半轴上，且OB=2，
∴B（2，0），
∵点B向上平移2个单位长度后得到点B′，
∴B′（2，2），
∴BB′=B′D=2，
∵∠B′BM=90°，∠DOB=90°，∠B′DO=90°，
∴∠DB′B=90°，
∴∠DB′M+∠BB′M=90°，
∵∠MB′N=90°，
∴∠DB′M+∠DB′N=90°，
∴∠DB′N=∠BB′M，
在△DB′N和△BB′M中，

∠DB′N=∠BB′M

BB′=B′D

∠B′DN=∠B′BM

，
∴△DB′N≌△BB′M（ASA），
∴DN=BM，
∵点M（m，0），N（0，n），
∴BM=2-m，DN=n-2，
∴2-m=n-2，
即m+n=4，
∵mn=(15)/(7)，
∴m²+n²
=（m+n）²-2mn
=4²-2×(15)/(7)
=16-(30)/(7)
=(82)/(7)．