在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形．AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=5．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，且3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT

Question

在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形．AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=√(5)．

（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；
（2）设M为线段EC上一点，且3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵AD=1，CD=2，AC=√(5)，
∴AD²+CD²=AC²，∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，
同理∵ED=1，CD=2，EC=√(5)，
∴ED²+CD²=EC²，∴△EDC为直角三角形，且ED⊥DC，
又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，
又∵AB∥DC，∴DA⊥AB，
在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，
故四边形ABHD是正方形，∴∠ADB=45°，
在△BCH中，BH=CH=1，∠BCH=45°，BC=√(2)，
∴在∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD，
∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC=D，
∴ED⊥平面ABCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，
∵BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD，
∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，
∴平面EBC⊥平面EBD．
（2）∵M为线段EC上一点，且3EM=EC，
在线段BC上取一点T，使3BT=TC，则MT∥平面BDE．
理由如下：
∵M为线段EC上一点，且3EM=EC，T为BC上一点，3BT=TC，
∴MT∥BE，∵BE⊂平面BDE，MT⊄平面BDE，
∴MT∥平面BDE．