已知ΔABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点B关于点M(2，0)的对称点为C，点T(-1，1)在AC边所在直线上且满足．(I)求AC边所在直线的方程；(II)求ΔABC的外接圆的方程；(III)若点N的坐标为(-n，0)，其

Question

已知ΔABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点B关于点M(2，0)的对称点为C，点T(-1，1)在AC边所在直线上且满足．
(I)求AC边所在直线的方程；
(II)求ΔABC的外接圆的方程；
(III)若点N的坐标为(-n，0)，其中n为正整数．试讨论在ΔABC的外接圆上是否存在点P，使得|PN|=|PT|成立？说明理由．

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Answer 1

【分析】(I)由已知中可得AC⊥AB，结合T点坐标及AB的方程为x-3y-6=0点，我们易求出AC边所在直线的方程；
(II)结合(I)中结论，及B、C两点关于M点对称，可得ΔABC的外接圆是以M为圆心，以BC为直径的圆，求出BC长即可得到圆的方程；
(III)若在ΔABC的外接圆圆M上存在点P，使得|PN|=|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点．所以当L与圆M相离时，不存在满足条件的点P；当L与圆M相交或相切时则存在满足条件的点P．由此设出N点坐标，代入点到直线距离公式进行验证，即可得到结论．

(I)因为，所以AT⊥AB.
又T在AC上，所以AC⊥AB，ΔABC为RtΔABC.(1分)

又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，所以直线AC的斜率为-3．(2分)
又因为点T(-1，1)在直线AC上，
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0．(3分)
(II)AC与AB的交点为A，所以由，
解得点A的坐标为(0，-2).(5分)
因为点B关于M(2，0)的对称点为C，
所以M为RtΔABC斜边上的中点，即为RtΔABC外接圆的圆心.(6分)
又r=，(7分)
所以ΔABC外接圆的方程为：(x-2)²+y²=8．(8分)
(III)若在ΔABC的外接圆圆M上存在点P，使得|PN|=|PT|成立，
则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点，
所以当L与圆M相离时，不存在满足条件的点P；
当L与圆M相交或相切时，则存在满足条件的点P．
由N(-n，0)，T(-1，1)，知NT的斜率为，
线段NT的中点为，
线段NT的垂直平分线L为，
即.(10分)
圆M的圆心M到直线L的距离为d=.(11分)
i)当n=1时，d=知，
此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P；
ii)当n=2时d=，此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P；
iii)当n≥3时，；
此时直线L与圆M相离，不存在满足条件的点P．(14分)

【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，与直线关于点对称的直线方程，圆的标准方程，其中根据已知条件确定A，B，C三点的坐标及三边的关系，以判断三角形ABC的形状是解答本题的关键．