如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB上的两个动点，且∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P，垂足分别为C、D、设P点的坐标为（x

Question

如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB上的两个动点，且∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P，垂足分别为C、D、设P点的坐标为（x，y），令xy=k，
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）当OC=OD时，求k的值；
（3）在点E、F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45°；
又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠BEO，
∴△AOF∽△BEO．

（2）作OM⊥AB于M，则OM＝(1)/(2)AB＝(√(2))/(2)
∵OC=OD，OA=OB=1，
∴CE=DF，
又∵∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，
∴OF=OE，
∵∠EOM＝(1)/(2)∠EOF＝22.5°，又∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM
∴PC＝PD＝OC＝(√(2))/(2)，
∴k＝PC×PD＝(1)/(2)．

（3）如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，
∵△AOF∽△BEO，
∴(AF)/(OB)＝(OA)/(BE)，
∴AF×BE=OA×OB=1，
∵BE＝√(2)HE，AF＝√(2)FK，
∴√(2)HE×√(2)FK=1，即HE×FK=(1)/(2)，
∴PC×PD＝EH×FK＝(1)/(2)，
∴k的值为定值(1)/(2)．