如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF．（1）直接写出点F的坐标；（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积．

Question

如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF．

（1）直接写出点F的坐标；
（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）∵菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，
∴∠AOF=180°，OF=2，
即点F在x轴的负半轴上，
∴点F（-2，0）；
（2）过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，
则∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，
∴∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°，
∴AG=(1)/(2)AB=1，BG=√(AB2-AG2)=√(3)，
∴OB=2BG=2√(3)，
∵∠BOE=120°，
∴S_扇形=(120×π×(2√(3))2)/(360)=4π，S_菱形OABC=OA•BG=2√(3)，
∴S_阴影=S_扇形-S_菱形OABC=4π-2√(3)．