已知圆M：x^2+y^2-2mx-2ny+m^2-1=0,与园N：x^2+y^2+2x+2y-2=0交于A、B两点,且AB是圆N的直径,求圆心M的轨迹方程.一楼的：“因此AN^2+MN^2=AM^2=r(M)^2”是怎么得出来的？

Question

已知圆M：x^2+y^2-2mx-2ny+m^2-1=0,与园N：x^2+y^2+2x+2y-2=0交于A、B两点,且AB是圆N的直径,求圆心M的轨迹方程.
一楼的：
“因此AN^2+MN^2=AM^2=r(M)^2 ”
是怎么得出来的？

Answer 1

画图,
圆M：(x-m)^2+(y-n)^2=n^2+1
可知M(m,n),r(M)^2=n^2+1
圆N：(x+1)^2+(y+1)^2=4
可知N(-1,-1),r(N)=2
根据题意可知AN=NB=r(N)=2,
连接MN,则MN垂直于AB
因此AN^2+MN^2=AM^2=r(M)^2 (因为MN垂直于AB,三角形ANM是直角三角形 )
所以2^2+(m+1)^2+(n+1)^2=n^2+1
化简,得：
(m+1)^2+2n+4=0
即圆心M的轨迹方程为(x+1)^2+2y+4=0