已知一次函数y=2kx-3k+12（k≠0）．（1）不论k为何值时，函数图象过一定点，求定点的坐标；（2）设（1）中的定点为P，C为y轴正半轴上一点，∠CPO=45°，求S△OPC；（3）如图，若k=-14，函数图

Question

已知一次函数y=2kx-3k+(1)/(2)（k≠0）．
（1）不论k为何值时，函数图象过一定点，求定点的坐标；
（2）设（1）中的定点为P，C为y轴正半轴上一点，∠CPO=45°，求S_△OPC；
（3）如图，若k=-(1)/(4)，函数图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，在直线AB上是否存在点Q，使(QA)/(QB)=(2)/(5)？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）一次函数y=2kx-3k+(1)/(2)（k≠0），
得：2kx-y=3k-(1)/(2)，
不论k为何值，上式都成立．
所以2x=3，y=(1)/(2)，
解得：x=(3)/(2)，y=(1)/(2)．
即不论k为何值，一次函数y=2kx-3k+(1)/(2)（k≠0）的图象恒过（(3)/(2)，(1)/(2)）．


（2）如图1，作PD⊥x轴于D，CE⊥OP于E，
∵P（(3)/(2)，(1)/(2)），
∴OP=(√(10))/(2)，
∵∠OPC=45°，
∴CE=PE，
∴OE=(√(10))/(2)-CE，
∵PD∥y轴，
∴∠COE=∠OPD，
∴△COE∽△OPD，
∴(CE)/(OD)=(OE)/(PD)，
即(CE)/((1)/(2))=((√(10))/(2)−CE)/((3)/(2))，
解得：CE=(√(10))/(8)，
∴S_△OPC=(1)/(2)OP•CE=(1)/(2)×(√(10))/(2)×(√(10))/(8)=(5)/(16)．


（3）存在；
证明：如图2，若k=-(1)/(4)，则一次函数为y=-(1)/(2)x+(5)/(4)，
∴A（(5)/(2)，0），B（0，(5)/(4)），
∵(QA)/(QB)=(2)/(5)，
∴(QA)/(AB)=(2)/(7)，
∵(QM)/(OB)=(AM)/(OA)=(QA)/(AB)=(2)/(7)，
∴QM=(2)/(7)×(5)/(4)=(5)/(14)，AM=(2)/(7)×(5)/(2)=(5)/(7)，
∴OM=OA-AM=(5)/(2)-(5)/(7)=(25)/(14)，
∴Q（(25)/(14)，(5)/(14)），
同理证得Q'（(7)/(2)，-(1)/(2)），
∴Q点的坐标为（(25)/(14)，(5)/(14)），（(7)/(2)，-(1)/(2)）．