如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．（1）求证：CM+CN=2BD；（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．

Question

如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．

（1）求证：CM+CN=√(2)BD；
（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．

Answer 1

证明：（1）如图1，连接CD，

∵△ACB是等腰直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，
∴∠CDB=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN=90°-∠CDN，
在△CMD和△BND中，

∠CDM=∠NDB

CD=BD

∠MCD=∠B

，
∴△CMD≌△BND（ASA），
∴DM=BN，
在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=√(2)BD，
即CM+CN=BN+CN=BC=√(2)BD；

（2） CN-CM=√(2)BD，
理由是：如图2，连接CD，

∵△ACB是等腰直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，
∴∠CDB=90°，∠DCM=∠DBN=135°，
∵DM⊥DN，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN=90°-∠CDN，
在△CMD和△BND中，

∠CDM=∠NDB

CD=BD

∠MCD=∠B

，
∴△CMD≌△BND（ASA），
∴DM=BN，
在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=√(2)BD，
即CN-CM=CN-BN=BC=√(2)BD．