如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD＝BC＝2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO＝60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．(Ⅰ)证明：PD⊥AC；(Ⅱ

Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD＝BC＝2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO＝60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．

(Ⅰ)证明：PD⊥AC；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小；

(Ⅲ)若DM∶MP＝k，则当k为何值时直线PB⊥平面ACM？

Answer 1

　　(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，

　　∴DO为DP在平面ABCD内的射影　　　　　　　　1分

　　又∵AC⊥BD，

　　∴AC⊥PD　　　　　　　　3分

　　(Ⅱ)取AB中点N，连结ON，PN　　　　　　　　4分

　　∵四边形ABCD为等腰梯形，

　　∴△ABD≌△BAC，

　　∴∠ABD＝∠BAC．

　　∴OA＝OB

　　∴ON⊥AB

　　又∵PO⊥平面ABCD，

　　∴ON为PN在底面ABCD内的射影，

　　∴PN⊥AB

　　∴∠PNO即为二面角P－AB－C的平面角　　　　　　　　7分

　　在Rt△DOA中，∠DAO＝60°，AD＝2．

　　∴AO＝1，DO＝．

　　在Rt△AOB中，ON＝　　　　　　　　8分

　　∵PO⊥平面ABCD，

　　∴OA为PA在底面ABCD内的射影．

　　∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，

　　∴∠PAO＝．

　　在Rt△POA中，AO＝1．

　　∴PO＝　　　　　　　　9分

　　∴在Rt△PON中，tan∠PNO＝．

　　∴二面角P－AB－C的大小为arctan　　　　　　　　10分

　　方法二：

　　如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．　　　　　　　　4分

　　A(0，－1，0)，B(1，0，0)，

　　P(0，0，)，O(0，0，0)．　　　　　　　　5分

　　，，．　　　　　　　　6分

　　∵PO⊥平面ABCD，

　　∴为平面ABCD的法向量．　　　　　　　　7分

　　设为平面PAB的法向量，

　　则∴

　　∴令，则　　　　　　　　9分

　　，

　　∴二面角P－AB－C的大小为arccos　　　　　　　　10分

　　(Ⅲ)连结MO．

　　当DM：MP＝时，直线PB//平面ACM．　　　　　　　　11分

　　∵AO＝1，BO＝AO＝1，DO＝．

　　∴DO：OB＝_，

　　又∵DM：MP＝_，

　　∴在△BDP中，MO∥PB．　　　　　　　　12分

　　又∵MO平面MAC，PB平面ACM，

　　∴PB∥平面ACM．　　　　　　　　14分