若关于x的不等式xex﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，e]D．[，e]

Question

若关于x的不等式xe^x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（　　）

A．[，）     B．[，） C．[，e]      D．[，e]

　

Answer 1

B【考点】函数恒成立问题．

【分析】设g（x）=xe^x，f（x）=2ax﹣a，求出g（x）的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于（m，n），求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=﹣1时，求得a，通过图象观察，即可得到a的范围．

【解答】设g（x）=xe^x，f（x）=2ax﹣a，

由题意可得g（x）=xe^x在直线f（x）=2ax﹣a下方，

g′（x）=（x+1）e^x，

f（x）=2ax﹣a恒过定点（，0），

设直线与曲线相切于（m，n），

可得2a=（m+1）e^m，me^m=2am﹣a，

消去a，可得2m²﹣m﹣1=0，解得m=1（舍去）或﹣，

则切线的斜率为2a=（﹣+1）e，

解得a=，

又由题设原不等式无整数解，

由图象可得当x=﹣1时，g（﹣1）=﹣e^﹣1，f（﹣1）=﹣3a，

由f（﹣1）=g（﹣1），可得a=，

由直线绕着点（，0）旋转，

可得≤a＜，

故选：B．

【点评】本题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．