一个很费解的力学问题,从地球上挖个洞穿过地心,到达地球另一端,在一端放一个小物体,这个物体会做简谐运动,周期84.4min,并且这个周期只与地球密度有关,与半径和质量无关.试证明以上三个

Question

一个很费解的力学问题,
从地球上挖个洞穿过地心,到达地球另一端,在一端放一个小物体,这个物体会做简谐运动,周期84.4min,并且这个周期只与地球密度有关,与半径和质量无关.试证明以上三个结论.）

Answer 1

首先计算小物体在离地心距离为r时受到的重力
当距地心为r时,小物体收到的地球重力可以分为两部分,一部分是半径为r内的物质的引力,一部分是r-R的球壳的引力
前者为
F1=-GMm/r^2=-4πrpGm/3
因为重力场是有源场,所以根据对称性,球壳对球壳内的物体引力为0.
因此小物体收到的合力就是F1,与r成正比,所以小物体会做简谐运动.
因为简谐振动的周期为T=2π根号(m/k)
因为k=4πpGm/3
所以T=2根号(3π/4pG)
所以只与地球密度有关
至于84.4分钟代入数值求一下好了.