．（本小题满分13分）如图，四棱锥中，⊥底面∥，，∠=120°，=，∠=90°，是线段上的一点(不包括端点).（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的正切值；（Ⅲ）试

Question

．（本小题满分13分）如图，四棱锥 中， ⊥底面 ∥ ， ，∠ =120°， = ，∠ =90°， 是线段 上的一点(不包括端点).
（Ⅰ）求证： ⊥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正切值；
（Ⅲ）试确定点 的位置，使直线 与平面 所成角 的正弦值为 .

Answer 1

解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC 平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC               （4分）
（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE建立如图所示空间直角坐标系，则
A（0，，0，0），P（0，0， ），C（ ，0），D（ ，0）
， ，                   (6分)

易求 为平面PAC的一个法向量.
为平面PDC的一个法向量     
∴cos
故二面角D-PC-A的正切值为2.  (10分)
（Ⅲ）设 ,则  ,
解得点 ,即   
由 得 (不合题意舍去)或
所以当1 为2 的中点时,直线 与平面8 所成角的正弦值为   （13分）

略