(本题满分14分)设有抛物线C：，通过原点O作C的切线，使切点P在第一象限.（1）求m的值，以及P的坐标；（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；（3）设C上有一点R，其

Question

(本题满分14分)设有抛物线C： ，通过原点O作C的切线 ，使切点P在第一象限.
（1）求m的值，以及P的坐标；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
（3）设C上有一点R，其横坐标为 ，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求 的取值范围.

Answer 1

（1）斜率k= ，P的坐标为（2，1）
（2）Q点的坐标为（ ，－4）
（3）t的取值 范围为t< 或t> .

设点P的坐标为（x ₁ ， y ₁ ），则y ₁ =kx ₁ ……①，y ₁ = – + x ₁ – 4……②，
①代入②，得： +（k– ）x ₁ +4=0……… …………………………………………2分
因为点P为切点，所以（k– ） ² –16=0，得：k= 或k= ……………………4分[来源:Z。xx。k.Com]
当k= 时x ₁ = －2，y ₁ = －1 7；当k= 时，x ₁ = 2，y ₁ = 1；
因为点P在第一象限，故所求的斜率k= ，P的坐标为（2，1），……………6分
法二：求导
（2）过 P点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：
x ² － x+9=0，设Q点的坐标为（x ₂ ， y ₂ ），则2x ₂ =9，所以x ₂ = ，y ₂ =－4，
所以Q点的坐标为（ ，－4），……………………… ……… ………………10分
（3）设C上有一点R（t，－t ² + t–4），它到直线PQ的距离为：
d= = ……………………………………12分
点O到直线PQ的距离PO = ，S _{D OPQ} = ´PQ´OP，S _{D PQR} = ´PQ´d，
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，S _{D OPQ} < S _{D PQR} ，
        即： OP < d，即： >5，……………………………………14分
+4>0或 +14<0
解之得：t< 或t> [来源:Zxxk.Com]
所以t的取值 范围为t< 或t> .……………………………16分
法二：做平行线