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如图,△ABO中,O是坐标原点,A,B.(1)①以原点O为位似中心,将△ABO放大,使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2:1,且D在第一象限内,则C点坐标为(
题目详情
如图,△ABO中,O是坐标原点,A
,B
.
(1)①以原点O为位似中心,将△ABO放大,使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2:1,且D在第一象限内,则C点坐标为(______
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5366d0160924ab18f04ca78730fae6cd7b890b23.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d52a2834349b033b8605ba6a10ce36d3d439bdf5.jpg)
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(1)①以原点O为位似中心,将△ABO放大,使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2:1,且D在第一象限内,则C点坐标为(______
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▼优质解答
答案和解析
(1)①首先根据点D的位置确定△COD的位置,然后根据位似比作图,即可得到点C、D的坐标;
②可过E作y轴的垂线,设垂足为F,由于△ODE是由△ODC翻折而得,故OE=OC=2
,∠EOD=∠COD=30°,根据这些条件,即可在Rt△OEF中,通过解直角三角形求出点E的坐标.
(2)在(1)题中,已经求得了E、C的坐标,利用待定系数法求解即可.
(3)四边形MEOC中,△OEC的面积是定值,若四边形的面积最大,则△EMC的面积最大;过M作MN∥y轴,交直线CE于N,设出点M的横坐标,根据抛物线和直线CE的解析式即可得到MN的长,以MN为底,C、E横坐标差的绝对值为高,即可得到△EMC的面积表达式,进而可得到关于四边形MEOC的面积和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可得到四边形的面积最大值,及对应的M点坐标.
【解析】
(1)①由题意知:OC=2OA=2
,
CD=2AB=2;
故C(2
,0),D(2
,2);
②如图,过E作EF⊥y轴于F;
Rt△OCD中,OC=2
,CD=2,则有:
∠DOC=30°;
根据折叠的性质知:
OE=OC=2
,∠EOD=∠DOC=30°;
在Rt△OEF中,OE=2
,∠FOE=30°,
则:FE=
,OF=3,
故E(
,3).
(2)由于抛物线经过E(
,3),C(2
,0),依题意有:
,
解得
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2
x;![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fdaf6be1c5d388d43f8794272c.jpg)
(3)过M作MN∥y轴,交CE于N;
∵E(
,3),C(2
,0),
∴直线EC:y=-
x+6;
设M(x,-x2+2
x),则N(x,-
x+6),
∴MN=-x2+2
x-(-
x+6)=-x2+3
x-6;
∴四边形EMCO的面积S=S△EMC+S△EOC
=
×(-x2+3
x-6)×
+
×2
×3
=-
x2+
x=-
(x-
)2+
;
∴当x=
,即M(
,
)时,四边形OEMC的面积最大,且最大值为
.
②可过E作y轴的垂线,设垂足为F,由于△ODE是由△ODC翻折而得,故OE=OC=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/00e93901213fb80e7d5d276733d12f2eb83894f5.jpg)
(2)在(1)题中,已经求得了E、C的坐标,利用待定系数法求解即可.
(3)四边形MEOC中,△OEC的面积是定值,若四边形的面积最大,则△EMC的面积最大;过M作MN∥y轴,交直线CE于N,设出点M的横坐标,根据抛物线和直线CE的解析式即可得到MN的长,以MN为底,C、E横坐标差的绝对值为高,即可得到△EMC的面积表达式,进而可得到关于四边形MEOC的面积和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可得到四边形的面积最大值,及对应的M点坐标.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8326cffc1e178a8233663910f303738da977e82c.jpg)
(1)①由题意知:OC=2OA=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c1d66d20b82d6277f9e2ff82c.jpg)
CD=2AB=2;
故C(2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b7b02087bf40ad1cebe8153522c11dfa9ecce2c.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f4134abbb43ce201f95cad0c85ef5.jpg)
②如图,过E作EF⊥y轴于F;
Rt△OCD中,OC=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/241f95cad1c8a7868ba60cbe6209c93d71cf50f5.jpg)
∠DOC=30°;
根据折叠的性质知:
OE=OC=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/71cf3bc79f3df8dc9bb1c921c811728b461028f5.jpg)
在Rt△OEF中,OE=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf25976e093b57eca8065388f2c.jpg)
则:FE=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6e8375225a84cb39dbb7fd3cf5.jpg)
故E(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8389b504fc2d5628b5d965de21190ef76c66c2c.jpg)
(2)由于抛物线经过E(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9c16fdfaaf51f3deade7ffd491eef01f3a29792c.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b2de9c82d158ccbf5de9f38a1cd8bc3eb135412c.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b9e76db53f81f4134970a5a2c.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/960a304e251f95ca91a0d406cc177f3e6709522c.jpg)
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f603918fa0ec08fae98c55175cee3d6d54fbdaf6.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fdaf6be1c5d388d43f8794272c.jpg)
(3)过M作MN∥y轴,交CE于N;
∵E(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef447bddeeed8c451da81cb3e2c.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/962bd40735fae6cd10e1edd10ab30f2442a70f2c.jpg)
∴直线EC:y=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/caef76094b36acafd06cd04c79d98d1000e99cf6.jpg)
设M(x,-x2+2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8326cffc1e178a8233693910f303738da977e82d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8773912b31bb0516a71f598337adab44aede02d.jpg)
∴MN=-x2+2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9825bc315c6034a87a6dfe31ce134954082376f6.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8601a18b87d6277f004774882d381f30e924fc2d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d9f2d3572c11df1984f993662762d0f703c22d.jpg)
∴四边形EMCO的面积S=S△EMC+S△EOC
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/738b4710b912c8fc927cb07df9039245d78821f6.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6a600c338744ebf8c924228fdcf9d72a6059a72d.jpg)
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d439b6003af33a870c3846aac35c10385343b52d.jpg)
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=-
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edfa8d8b8934c540923dd54752d.jpg)
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6d81800a19d8bc3e845c407a878ba61ea8d3452d.jpg)
∴当x=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/91529822720e0cf31f78084b0f46f21fbf09aaf7.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f7246b600c338744394a69cc540fd9f9d62aa0f7.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6e83ad225a84cb39dbb6fd3c2d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d50735fae6cd7b89f2387c330a2442a7d9330e2d.jpg)
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